SPM-MLに勉強になる話題が流れていたので、共有します。
出典はこちら。
https://www.jiscmail.ac.uk/cgi-bin/webadmin?A2=SPM;a65dd354.1307
コントロールAと疾患B、疾患Cという3群がある時、Design Matrixに全部を入れてしまった方がいいのか、
もしくは、コントロールと疾患A、コントロールと疾患Bというように、別々にDesign Matrixを作った方がいいのかという質問です。
これに対し、Cyril Pernetが非常にわかりやすいたとえを使って説明をしています。
ただ、少しだけtypoがあったのでそこを補足して説明します。
以下はMatlabを実際に動かしてみながらやってみるといいでしょう。
非常にわかりやすくするために、各群3人だとします。
そして、あるボクセルのデータが以下のようになっているとします。
1 2 3 | A=[9; 10; 11];B=[19; 20; 21];C=[29; 30; 31]; |
3群を全部ひとつのモデルに入れることにしましょう。
この時、GLMで考えると、Yはデータ行列になりますので、以下のようになります。
1 | Y=[A; B; C] |
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 | Y = 9 10 11 19 20 21 29 30 31 |
この時、Design Matrixは次のようにあらわされます。（今はわかりやすく共変量はすべて1としています。）
1 | X=[kron(eye(3), ones(3,1)) ones(9,1)] |
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 | X = 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 |
GLMでは、Y=XB+Eであらわされます。
そして、Bを求めたい時は、Matlabで以下のコマンドを叩くことで簡単に求まります。
ただ、今、上でBという変数を使ってしまっているので、わかりやすくBETAとします。
1 | BETA=pinv(X)*Y |
そうすると、BETAは以下のように表示されます。
1 2 3 4 5 | BETA = -5.0000 5.0000 15.0000 15.0000 |
今、BETAは上からAの平均値、Bの平均値、Cの平均値、そして定数となります。
なので、AとBの差の絶対値は10となりますし、AとCの差の絶対値は20となります。
それでは、次にAとBの2群をモデルしてみましょう。
今の場合、Yは以下のようになります。
1 | Y=[A;B] |
1 2 3 4 5 6 7 | Y = 9 10 11 19 20 21 |
このときのDesign Matrixは以下のようになります。
1 | X = [kron(eye(2), ones(3,1)) ones(6,1)] |
1 2 3 4 5 6 7 | X = 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 |
同じようにBETAを求めましょう。
1 | BETA=pinv(X)*Y |
1 2 3 4 | BETA = -0.0000 10.0000 10.0000 |
今の場合、BETAは上からAの平均値、Bの平均値、定数となります。
Aの平均値とBの平均値の差の絶対値は10となります。上のモデルと同じです。
では、AとCの場合はどうでしょうか。
1 | Y=[A;C] |
1 2 3 4 5 6 7 | Y = 9 10 11 29 30 31 |
Xは同じものが使えますので、BETAを求めます。
1 | BETA=pinv(X)*Y |
1 2 3 4 | BETA = -3.3333 16.6667 13.3333 |
今の場合、BETAは上からAの平均値、Cの平均値、定数となりますので、
Aの平均値とCの平均値の差の絶対値は（約ではありますが）20となります。
つまり、このような場合、Design Matrixを複数作るよりも、1つのDesign matrixを作ってしまった方がエレガントだということになります。
今までいつも迷っていたことだったので、すっきりしました。
